Statistics for Data Science – Hindi Written (Vista Academy)

Estimating Population Means | Statistics in Hindi for Data Science

population Mean का अनुमान लगाना

Sample से प्राप्त एक statistic का उपयोग population के parameter का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

सबसे संभावित value को point estimate कहते हैं।
इसके साथ ही, हम estimated parameter के लिए एक lower और upper bound भी calculate कर सकते हैं।
Margin of Error (MOE), point estimate से lower और upper bounds का अंतर होता है।
Lower और upper bounds मिलकर एक confidence interval बनाते हैं।

Confidence Interval को Calculate करना

Confidence interval निकालने के लिए ये steps follow करें:

Conditions check करें
Point estimate find करें
Confidence level decide करें
Margin of error calculate करें
Confidence interval calculate करें

Example:

Population: Nobel Prize winners
Variable: Nobel Prize पाने की age

हम एक sample लेकर उसके mean और standard deviation को calculate कर सकते हैं, और इसे पूरे population के average age का अनुमान लगाने के लिए उपयोग कर सकते हैं।

मान लें कि 30 randomly चुने गए Nobel Prize winners का sample लिया और:

Sample का mean age = 62.1
Sample का standard deviation = 13.46

अब इस data से confidence interval calculate करने के steps:

Step 1: Conditions Check करना

Mean के लिए confidence interval calculate करने की conditions:

Sample randomly चुना गया हो
और:
- Population data normally distributed हो
- या sample size पर्याप्त large हो (जैसे 30 का sample size काफ़ी होता है)

इस example में sample size 30 है और यह randomly चुना गया है, तो conditions पूरी होती हैं।

Note: Data का normal distribution check करने के लिए विशेष statistical tests होते हैं।

2. Finding the Point Estimate (Point Estimate ढूंढना)

Point estimate sample mean ( $xˉ\bar{x}$ ) होती है।
Sample mean निकालने का formula है:

$(n)\text{Sample mean } (\bar{x}) = \frac{\text{Sum of all values } (\Sigma x)}{\text{Sample size } (n)}$

इस formula में, सभी values का जोड़ ( $Σx\Sigma x$ ) को sample size ( $n$ ) से divide करके mean पाया जाता है।

Example:
हमारे example में, sample का mean age 62.1 था।
यानि:

$xˉ=62.1\bar{x} = 62.1$

3. Deciding the Confidence Level (Confidence Level Decide करना)

Confidence level एक percentage या decimal number से व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए:

यदि confidence level 95% या 0.95 है: $\text{Remaining probability } (\alpha) = 1 – 0.95 = 0.05 \, \text{(या 5%)}$

Commonly used confidence levels:

90% के लिए $α=0.1\alpha = 0.1$
95% के लिए $α=0.05\alpha = 0.05$
99% के लिए $α=0.01\alpha = 0.01$

Note:
95% confidence level का मतलब है कि यदि हम 100 अलग-अलग samples लें और उनके लिए confidence intervals बनाएं, तो उन 100 में से 95 बार सही population parameter उस interval के अंदर होगा।

Margin of error के लिए हम student’s t-distribution का उपयोग करते हैं।
t-distribution sample size के अनुसार degrees of freedom (df) पर आधारित होता है।

Degrees of freedom का formula है:

$df = n - 1$

Example:
यदि sample size $n = 30$ है, तो degrees of freedom $df = 30 - 1 = 29$ होगा।

t-distribution में बची हुई probability $α\alpha$ को दो भागों में बांटा जाता है ताकि distribution के दोनों किनारों (tails) में बराबर हिस्सा हो।
t-value axis पर जो values tails को middle area से अलग करती हैं, उन्हें critical t-values कहते हैं।

Example Graphs:
नीचे अलग-अलग confidence levels (90%, 95%, 99%) के लिए 29 degrees of freedom (df) के साथ standard normal distribution के tail areas ( $α\alpha$ ) दर्शाए गए हैं:

90% confidence level पर $α=0.1\alpha = 0.1$
95% confidence level पर $α=0.05\alpha = 0.05$
99% confidence level पर $α=0.01\alpha = 0.01$

4. Calculating the Margin of Error (Margin of Error निकालना)

Margin of error (MOE) point estimate और lower व upper bounds के बीच का अंतर होता है।
Proportion के लिए margin of error इस formula से calculate किया जाता है:

$t_{\alpha/2} \times SE$

जहाँ,

$tα/2t_{\alpha/2}$ critical t-value है
$SE$ standard error है

Critical t-value को standard normal distribution और confidence level के अनुसार calculate किया जाता है।
Standard error (SE) को sample standard deviation ( $s$ ) और sample size ( $n$ ) से calculate किया जाता है:

$\frac{s}{\sqrt{n}}$

Example:
हमारे example में, sample का standard deviation ( $s$ ) = 13.46 और sample size $n = 30$ है, तो:

$\frac{13.46}{\sqrt{30}} \approx 2.457$

95% confidence level के लिए $α=0.05\alpha = 0.05$ है, और हमें critical t-value $(tα/2)\left( t_{\alpha/2} \right)$ ढूंढना है।

Python Code से हम critical t-value calculate कर सकते हैं। इसके लिए, हम Scipy Stats library का t.ppf() function use करेंगे:

import scipy.stats as stats

# Degrees of freedom = n – 1
df = 30 – 1

# Alpha/2 for 95% confidence level
alpha = 0.05 / 2

# Calculating the critical t-value
t_value = stats.t.ppf(1 – alpha, df)

print(“Critical t-value:”, t_value)

Statistics for Data Science Course in Hindi | Vista Academy

Curriculum