सामान्य वितरण (Normal Distribution)
सामान्य वितरण एक महत्वपूर्ण संभावना वितरण (probability distribution) है जो सांख्यिकी में उपयोग किया जाता है। कई वास्तविक दुनिया के उदाहरण डेटा सामान्य वितरण में होते हैं।
सामान्य वितरण को औसत (mean) (μ) और सामान्य विचलन (standard deviation) (σ) से वर्णित किया जाता है।
यहाँ एक सामान्य वितरण का ग्राफ है जिसमें सामान्य विचलनों (standard deviations) के बीच संभावनाएँ (probabilities) दर्शाई गई हैं:
सामान्य वितरण में, डेटा के कुछ विशेष हिस्से होते हैं:
नोट: सामान्य वितरण की संभावनाएँ केवल अंतरालों (two values के बीच) के लिए गणना की जा सकती हैं।
औसत (Mean) यह बताता है कि सामान्य वितरण का केंद्र (center) कहाँ है।
यहाँ एक ग्राफ है जो तीन अलग-अलग सामान्य वितरण को दिखाता है जिनके सामान्य विचलन समान हैं लेकिन औसत (mean) अलग हैं:
इससे यह स्पष्ट होता है कि औसत और सामान्य विचलन के मूल्यों में परिवर्तन से सामान्य वितरण कैसे प्रभावित होता है।
सामान्य विचलन (Standard Deviation) यह बताता है कि सामान्य वितरण (normal distribution) कितना फैला हुआ है।
ग्राफ: विभिन्न सामान्य विचलन
यहाँ एक ग्राफ है जो तीन अलग-अलग सामान्य वितरण को दिखाता है जिनका औसत (mean) समान है, लेकिन सामान्य विचलन (standard deviation) अलग-अलग हैं:
Real world data अक्सर normally distributed होती है।
यहाँ Nobel Prize जीतने वाले winners की उम्र का एक histogram दिया गया है, जब उन्होंने prize जीता।”
“Histogram के ऊपर drawn normal distribution, real data के population mean और standard deviation पर based है।
हम देख सकते हैं कि histogram normal distribution के काफी करीब है।
कुछ real world variables के examples जो normally distributed हो सकते हैं:
Probability distributions वो functions होते हैं जो random variables के outcomes की संभावनाएँ (probabilities) calculate करते हैं।
Random variables के कुछ आम examples हैं जैसे सिक्का उछालना (coin tosses) और पासा फेंकना (dice rolls)।
यहाँ एक graph दिया गया है जो बढ़ती हुई सिक्का उछालने की संख्या और उनके expected results (heads या tails) को दिखाता है।
सिक्का उछालने का expected value, सिक्का उछालने की संभावना distribution होती है।”
ध्यान दें कि कैसे random पासा फेंकने के परिणाम expected values (1/6, या 16.666%) के करीब आते हैं जब फेंकने की संख्या बढ़ती है।
जब random variable पासा फेंकने के योग होता है, तो परिणाम और expected values एक अलग shape लेते हैं।
यह अलग shape इसलिए है क्योंकि middle के पास योग प्राप्त करने के अधिक तरीके होते हैं, जबकि छोटे या बड़े योग के लिए कम तरीके होते हैं।
जैसे-जैसे हम योग के लिए पासों की संख्या बढ़ाते जाते हैं, परिणामों और अपेक्षित मानों का आकार अधिक से अधिक एक normal distribution की तरह दिखने लगता है।
कुछ वास्तविक जीवन के variables ऐसे होते हैं जो इसी पैटर्न का अनुसरण करते हैं और स्वाभाविक रूप से normal distributions बनाते हैं।
Normally distributed variables का विश्लेषण well-known techniques के साथ किया जा सकता है।
आप कुछ सबसे सामान्य और उपयोगी techniques के बारे में जानेंगे।